Đáp án bài toán 'đếm số hình bình hành'

Đề bài:

Các cạnh của một tam giác đều được chia thành 8 phần bằng nhau bởi 7 điểm. Sau đó các điểm chia đó được nối lại tạo thành một lưới như hình vẽ.

Hỏi có tất cả bao nhiêu hình bình hình trong hình vẽ trên?

Đáp án:

Bài toán đếm với những con số cụ thể như thế này thì kiểu gì cũng đếm được, chỉ là lâu và dễ sai thôi. Dưới đây chúng ta đưa ra một cách đếm nhanh và chính xác dựa vào một số lý luận đơn giản và quan trọng nhất là một cách “biểu diễn” hình bình hành bằng các bộ số.

Trước hết ta nhận xét rằng có 3 loại hình bình hành, tương ứng với cách chọn phương của hai cạnh. Và 3 loại này có số lượng bằng nhau, do tính đối xứng. Vì vậy ta chỉ cần đếm số hình hình hành có cạnh song song với hai cạnh bên rồi nhân với 3 là xong. 

Ta vẽ thêm một đường thẳng song song với cạnh đáy và cách cạnh đánh một khoảng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song kề nhau, tạo thành một tam giác đều mở rộng như hình vẽ. Ta chia cạnh mới thành 9 phần bằng nhau bởi 8 điểm, cộng thêm hai đầu mút nữa là 10. Các điểm được đánh số từ trái sang phải từ 1 đến 10.

Khi đó với 1 hình bình hành có hai cạnh song song với hai cạnh bên, ta cho tương ứng với 4 số 1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 theo quy tắc sau: nối dài các cạnh của hình bình hành, cắt các cạnh mới tại 4 điểm có số thứ tự là a, b, c, d. Ví dụ với hình bình hành màu đỏ trên hình ta có bộ số (2, 5, 7, 9). Ngược lại, nếu có một bộ số 1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 ta sẽ kẻ các đường thẳng từ điểm a, b song song với cạnh bên trái và từ c, d song song với cạnh bên phải giao nhau ra một hình bình hành.

Như thế, số cách hình bình hành loại này bằng số cách chọn ra 4 số phân biệt (a, b, c, d) từ 10 số, và như thế bằng 

Suy ra số các hình bình hành cần tìm là 630.

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM